Question

7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²+bx，其中g（x）的函数图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．
（Ⅰ）确定a与b的关系；
（Ⅱ）若a≤0，判断函数g（x）的单调性；
（Ⅲ）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），求证：$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义即可得出；
（2）通过求导得到g′（x），即可得出其单调性；
（3）利用斜率计算公式，利用分析法即可证明．

解答 解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax²+bx，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax+b．
由函数g（x）的函数图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a+b=0，
∴b=-2a-1                …（4分）
（2）由（1）得g′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-（2a+1）x+1}{x}$（x＞0）
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞）．
∵a≤0，f′（x）≤0，函数g（x）的单调减区间为（0，+∞）．…（10分）
（3）依题意得k=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
证$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$，即证$\frac{1}{x_2}$＜$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜$\frac{1}{x_1}$
因x₂-x₁＞0，即证$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}}$．
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）则h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可证：lnt＜t-1②
综①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），即$\frac{1}{x_2}$＜k＜$\frac{1}{x_1}$．   …（16分）

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义，考查分析法的运用，根据所证明的结论恰当的构造函数是解题的关键．