Question

12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），直线l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$为参数，t∈R）
（1）求曲线C和直线l的普通方程；
（2）设直线l和曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），化为2ρ-ρcosθ=3，可得4ρ²=（3+ρcosθ）²，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，可得直角坐标方程．可由直线l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$为参数，t∈R），消去参数t可得普通方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程可得：19x²-70x+55=0，利用根与系数的关系可得：$|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂．可得|AB|=$\sqrt{5}$×|x₁-x₂|．

解答 解：（1）曲线C：ρ=$\frac{3}{2-cosθ}$，θ∈[0，2π），化为2ρ-ρcosθ=3，
∴4ρ²=（3+ρcosθ）²，可得直角坐标方程：4（x²+y²）=（3+x）²，化为：$\frac{（x-1）^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
由直线l$\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2+2t\end{array}\right.（t$为参数，t∈R），可得y=2+2（x-3），化为：2x-y-4=0．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把y=2x-4代入曲线C的直角坐标方程可得：19x²-70x+55=0，
∴x₁+x₂=$\frac{70}{19}$，x₁x₂=$\frac{55}{19}$．
∴$|{x}_{1}-{x}_{2}{|}^{2}$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-4x₁x₂=$（\frac{70}{19}）^{2}$-4×$\frac{55}{19}$=$\frac{720}{1{9}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{5}$×|x₁-x₂|=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{720}}{19}$=$\frac{60}{19}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．