Question

2．方程2^2x+m•2^x+m+1=0有两解，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 利用换元法这t=2^x＞0，将方程转化为关于t的一元二次方程，根据一元二次方程根的分布构造一元二次函数，建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：令2^x=t＞0，原方程即为t²+mt+m+1=0，
设f（t）=t²+mt+m+1，
若方程2^2x+m•2^x+m+1=0有两解，等价为t²+m（1+t）+1=0有两个正根，
则f（t）满足，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+1）≥0}\\{-\frac{m}{2}＞0}\\{f（0）=m+1＞0}\\{\;}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4m-4≥0}\\{m＜0}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2+2\sqrt{2}或m≤2-2\sqrt{2}}\\{m＜0}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，即-1＜m≤2+2$\sqrt{2}$，
即实数m的取值范围是-1＜m≤2+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次方程，利用一元二次方程根的分布建立函数关系是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．