Question

7．对任意实数x，总存在y∈[1，2]，使得x²+xy+y²≥2x+my+3成立，则实数m的取值范围是$m≤\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先看成关于x的二次不等式，转化成关于y的不等式．

解答 解：∵x²+xy+y²≥2x+my+3对任意的x恒成立
化简得：x²+x（y-2）+y²-my-3≥0对任意的x恒成立
∴△=（y-2）²-4（y²-my-3）≤0
3y²+（4-4m）y-16≥0，y∈[1，2]，
∴$4m-4≤3y-\frac{16}{y}$，
∵总存在y∈[1，2]，$4m-4≤3y-\frac{16}{y}$，∴4m-4≤g（y）_max．
∵$g（y）=3y-\frac{16}{y}$在[1，2]单调递增．
∴g（y）_max=-2，
解得：m≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：$m≤\frac{1}{2}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．