Question

3．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$的最小值为t．
（1）求实数t的值；
（2）解关于x的不等式：|2x+1|+|2x-1|＜t．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式求得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$的最小值，再根据$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$的最小值为t，求得t的值．
（2）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{ab}$
≥2$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{ab}}•2\sqrt{ab}}$=4，当且仅当a=b=1时，取等号，
故t=4．
（2）∵|2x+1|+|2x-1|＜t=4，∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+1-2x＜4}\end{array}\right.$①，
或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1+1-2x＜4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+1+2x-1＜4}\end{array}\right.$③．

解①求得-1＜x≤-$\frac{1}{2}$；解②求得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；解③求得$\frac{1}{2}$≤x＜1，
综上可得，原不等式的解集为（-1，1）．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．