Question

设函数f（x）=alnx，g（x）=

1

2

x²．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；
（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；
（3）若a=1，对任意的x₁＞x₂＞0，不等式m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，可得h(x)=4lnx-

1

2

x2，利用导数公式算出h′(x)=

4

x

-x，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；
（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x-g（x）得a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，再进行变量分离得a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，由此设y=

1 2 x2-x

x-lnx

并讨论其单调性得到ymin=-

1

2

，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；
（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，因此设t(x)=

m

2

x2-xlnx，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出m≥

lnx+1

x

恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）_max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．

解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时h(x)=4lnx-

1

2

x2，
由h′(x)=

4

x

-x＞0得-2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．
所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）
（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x-g（x），即为alnx+2x≤(a+3)x-

1

2

x2，
化简得：a(x-lnx)≥

1

2

x2-x，
由x∈[1，e]知x-lnx＞0，因而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设y=

1 2 x2-x

x-lnx

，
由y′=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
∵当x∈（1，e）时x-1＞0，

1

2

x+1-lnx＞0，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．
由不等式有解，可得知a≥ymin=-

1

2

，即实数a的取值范围是[-

1

2

，+∞）…（10分）
（3）当a=1，f（x）=lnx．
由m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，得mg（x₁）-x₁f（x₁）＞mg（x₂）-x₂f（x₂）恒成立，
设t(x)=

m

2

x2-xlnx(x＞0)．
由题意知x₁＞x₂＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，
∴t′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥

lnx+1

x

恒成立，
因此，记y=

lnx+1

x

，得y′(x)=

-lnx

x2

，
∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．
由此可得h（x）_max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）

点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．