Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁(底面为正三角形,且A₁A∥B₁B∥C₁C,A₁A⊥AB,A₁A⊥AC)中,若AB=BB₁,则AB₁与C₁B所成的角的大小为（    ）

A.60°              B.90°          C.105°           D.75°

Answer 1

解析一:设AB、BB₁、B₁C₁的中点依次为P、H、F,连结PH、HF,显然有PHAB₁, HFC₁B,

则∠PHF即为异面直线AB₁与C₁B所成的角.

连结PF,并设BB₁=1,则正三棱柱的底面边长为,不难求得PH=HF=.

取BC的中点E,连结PE、EF,易知△PEF是直角三角形,在Rt△PEF中, PF²=,显然有PH²+HF²=PF².

故∠PHF=90°.故选B.

解析二:如图,延长AB到D,使BD=AB,作DD₁AA₁,连结B₁D₁、BD₁.

∵ABB₁D₁,

∴AB₁BD₁.

故∠C₁BD₁即为所求异面直线所成的角.

易求得BC₁=BD₁=,C₁D₁=2××sin60°=.

又∵BC₁²+BD₁²=C₁D₁²,

∴∠C₁BD₁=90°.

故选B.

解析三:设法把BC₁的B点平移到B₁处,为使平移后的位置确定且易于计算,可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱.

作直三棱柱A₁B₁C₁—A₂B₂C₂,使C₁为CC₂的中点(如图所示),连结B₁C₂、AC₂,

∵BB₁C₁C₂,

∴C₁BC₂B₁,则∠AB₁C₂即为所求异面直线所成的角.

易求得∠AB₁C₂=90°.故选B.

答案:B