Question

已知|a|=1，|b|=

2

，且

a

⊥（

a

+

b

），则向量

a

与向量

b

夹角的大小是

120°

；向量

b

在向量

a

上的投影是

-1

．

Answer 1

分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用

a

⊥（

a

+

b

），数量积为零，得到关于

a

与

b

数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围，根据投影的定义，应用公式|

a

|cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |

求解．

解答：解：∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

⊥（

a

+

b

），
∴

a

•(

a

+

b

)=0，
∴

a

2+

a

•

b

=0，
∴

a

•

b

=-

a

2=-1，
∴cos＜

a

，

b

＞=

-1

1×2

=-

1

2

，
∵＜

a

，

b

＞∈[0°，180°]，
∴两个向量的夹角是120°，
而 

a

•

b

=-

a

2=-1，

b

在

a

上的投影为

a • b

| a |

=-1，
故答案为：120°，-1

点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．