Question

20．已知函数f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（-$∞，\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根据题意，可将问题转化为导函数y′≤0在[0，+∞）上恒成立，即求y′_min≤0，得到关于a的不等关系，运用基本不等式求解即可得到a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=-x³+ax²-x-1，
∴y′=-3x²+2ax-1，
∵函数f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是减函数，
∴y′=-3x²+2ax-1≤0在[0，+∞）上恒成立，
x∈（0，+∞）可得a≤$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}$，因为$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}≥2\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{3}$．当且仅当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号．
所以a$≤\sqrt{3}$．
∴实数a的取值范围是：（-$∞，\sqrt{3}$]．
故答案为：（-$∞，\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了函数单调性的综合运用，函数的单调性对应着导数的正负，若已知函数的单调性，经常会将其转化成恒成立问题解决．属于中档题．