Question

已知函数，当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，若在区间内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：可以根据函数，求出x在[，1]上的解析式，已知在区间内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，对g（x）进行求导，利用导数研究其单调性，从而求出a的范围；
解答：解：在区间内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
①a＞0若x∈[1，3]时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx-ax，（x＞0）
g′（x）=-a=，
若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，
若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，
此时f（x）必须在[1，3]上有两个交点，
∴，解得，≤a＜①
设＜x＜1，可得1＜＜3，
∴=2ln，此时g（x）=-2lnx-ax，
g′（x）=，
若g′（x）＞0，可得x＜-＜0，g（x）为增函数
若g′（x）＜0，可得x＞-，g（x）为减函数，
在[，1]上有一个交点，则，解得0＜a≤6ln3②
综上①②可得≤a＜；
②若a＜0，对于x∈[1，3]时，g（x）=lnx-ax＞0，没有零点，不满足在区间内，函数g（x）=f（x）-ax，有三个不同的零点，
综上：≤a＜；
故选A；
点评：此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，难度比较大，需要排除a＜0时的情况，注意解方程的计算量比较大，注意学会如何分类讨论；