Question

设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x²+

y2

4

=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为

2

-1的点P的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由直线l的方程与椭圆x²+

y2

4

=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，
设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．

解答： 解：由直线l的方程与椭圆x²+

y2

4

=1的方程组成方程组

y=2x+2 x2+ y2 4 =1

，
解得

x=0 y=2

或

x=-1 y=0

，
则A（0，2），B（-1，0），
∴AB=

(0+1)2+(2-0)2

=

5

，
∵△PAB的面积为

2

-1，
∴AB边上的高为h=

2 -1

1 2 × 5

=

2( 2 -1)

5

．
设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a²+

b2

4

=1，
P到直线y=2x+2的距离d=

|2a-b+2|

5

=

2( 2 -1)

5

，
即2a-b=2

2

-4或2a-b=-2

2

；
联立得：

2a-b=2 2 -4 a2+ b2 4 =1

①或

2a-b=-2 2 a2+ b2 4 =1

②，
①中的b消去得：2a²-2（

2

-2）a+5-4

2

=0，
∵△=4（

2

-2）²-4×2×（5-4

2

）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；
由②消去b得：2a²+2

2

a+1=0，
∵△=（2

2

）²-4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．
综上，使△PAB面积为

2

-1的点P的个数为3．
故选：D．

点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．