Question

19．设函数f（x）=|2x-1|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式|f（x）-2|≤5的解集；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定义域为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式|f（x）-2|≤5，即|2x-1|≤7，即-7≤2x-1≤7，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由题意可得f（x）+f（x-1）+m≠0 恒成立，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≠-$\frac{m}{2}$恒成立．根据绝对值的意义求得|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|的最小值为1，可得-$\frac{m}{2}$＜1，由此求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式|f（x）-2|≤5，即-5≤f（x）-2≤5，即-3≤f（x）≤7，即|2x-1|≤7，
即-7≤2x-1≤7，求得-3≤x≤4，故不等式的解集为{x|-3≤x≤4}．
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定义域为R，则f（x）+f（x-1）+m≠0 恒成立，
即|2x-1|+|2（x-1）-1|≠-m，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≠-$\frac{m}{2}$恒成立．
根据绝对值的意义，|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|表示数轴上的x对应点到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$对应点的距离之和，它的最小值为1，
故-$\frac{m}{2}$＜1，求得m＞-2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．