Question

甲乙两队进行某决赛，每次比赛一场，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为而

1

2

，据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．
（I）若组织者在此次比赛中获得的门票收入恰好为300万元，问此次决赛共比赛了多少场？
（Ⅱ）求组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为多少？

Answer 1

分析：（I）依题意每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，设此数列为{a_n}，根据a₁=40，a_n=10n+30，得到数列的前n项和，得到n的值．
（II）根据题意写出不等式，得到要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场，若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2：3，且第6场比赛为领先一场的球队获胜，若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3：3．

解答：解：（I）依题意，每场比赛获得的门票收入数组成首项为40，公差为10的等差数列，
设此数列为{a_n}，则易知a₁=40，a_n=10n+30
∴Sn=

n(a1+an)

2

=

n(10n+70)

2

=300  解得n=5或n=-12(舍去)
∴此次决赛共比赛了5场．
（Ⅱ）由S_n≥390得n²+7n≥78，∴n≥6
∴若要获得的门票收入不少于390万元，则至少要比赛6场．
①若比赛共进行了6场，则前5场比赛的比分必为2：3，且第6场比赛为领先一场的
球队获胜，其概率P(6)=

C

3 5

×(

1

2

)5=

5

16

；
②若比赛共进行了7场，则前6场胜负为3：3，则概率P(7)=

C

3 6

×(

1

2

)6=

5

16

∴门票收入不少于390万元的概率为P=P(6)+P(7)=

10

16

=

5

8

=0.625

点评：本题考查等差数列的前n项和，本题解题的关键是读懂题目，理解题意，把实际问题转化为数学问题．