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有关方程3x+4x=5x的根的情况的四种说法中,正确的是(  )
分析:由于3,4,5是一组勾股数,能得到一个解x=2.设函数f(x)=3x+4x-5x,f(x)=0当且仅当g(x)=1+(
4
3
x-(
5
3
x=0.由此利用导数性质能推导出f(x)实根唯一.
解答:解:由于3,4,5是一组勾股数,能得到一个解x=2.
设函数f(x)=3x+4x-5x
f(x)=0当且仅当g(x)=1+(
4
3
x-(
5
3
x=0时成立.
对g(x)求导
g'(x)=ln(
4
3
)•(
4
3
x-ln(
5
3
)•(
5
3
x
对g'(x)作类似处理,令h(x)=ln(
4
3
)•(
4
3
x-ln(
5
3
)•(
4
5
x
则g'(x)=0当且仅当h(x)=0成立,且h(x)与g'(x)都是单调递增函数.
∵h(x)是单调递增函数,∴h(x)=0有唯一解.
∵g'(x)是单调递增函数,∴g'(x)>0,
∴g(x)是单调递增函数,∴g(x)实根唯一.
所以f(x)实根唯一.
故选A.
点评:本题考查方程的根的情况的判断,解题时要认真审题,注意构造法和导数性质的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:单选题

有关方程3x+4x=5x的根的情况的四种说法中,正确的是


  1. A.
    只有一个有理数根
  2. B.
    只有一个无理数根
  3. C.
    共有两个实数根
  4. D.
    没有实数根

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省佛山一中高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

有关方程3x+4x=5x的根的情况的四种说法中,正确的是( )
A.只有一个有理数根
B.只有一个无理数根
C.共有两个实数根
D.没有实数根

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年广东省佛山一中高一(上)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

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A.只有一个有理数根
B.只有一个无理数根
C.共有两个实数根
D.没有实数根

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