Question

有关方程3^x+4^x=5^x的根的情况的四种说法中，正确的是（ ）
A．只有一个有理数根
B．只有一个无理数根
C．共有两个实数根
D．没有实数根

Answer 1

【答案】分析：由于3，4，5是一组勾股数，能得到一个解x=2．设函数f（x）=3^x+4^x-5^x，f（x）=0当且仅当g（x）=1+（）^x-（）^x=0．由此利用导数性质能推导出f（x）实根唯一．
解答：解：由于3，4，5是一组勾股数，能得到一个解x=2．
设函数f（x）=3^x+4^x-5^x，
f（x）=0当且仅当g（x）=1+（）^x-（）^x=0时成立．
对g（x）求导
g'（x）=ln（）•（）^x-ln（）•（）^x，
对g'（x）作类似处理，令h（x）=ln（）•（）^x-ln（）•（）^x，
则g'（x）=0当且仅当h（x）=0成立，且h（x）与g'（x）都是单调递增函数．
∵h（x）是单调递增函数，∴h（x）=0有唯一解．
∵g'（x）是单调递增函数，∴g'（x）＞0，
∴g（x）是单调递增函数，∴g（x）实根唯一．
所以f（x）实根唯一．
故选A．
点评：本题考查方程的根的情况的判断，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．