Question

将B=

π

3

边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B-AC-D．若θ∈[

π

3

，

2π

3

]，M，N分别为AC，BD的中点，则下列说法中正确的有

 

①AC⊥MN   ②DM与平面ABC所成角为θ   ③线段MN的最大值是

3

4

，最小值是

3

4

    ④当时θ=

π

2

时，BC与AD所成角等于

π

2

．

Answer 1

分析：根据菱形的性质以及翻折后一些量之间的关系可得①正确；由题意可得∠BMD=θ，并且得到∠BMD为DM与平面ABC所成角，所以②正确；根据题意折后两条对角线AC、BD之间的距离为NM的长，再根据解三角形的有关知识可得答案③正确；根据条件可得：BC⊥平面ACD，这与BM⊥平面ACD相矛盾，所以④错误．

解答：解：翻折后如图所示：

因为BM⊥AC，DM⊥AC，所以AC⊥平面BMD，所以AC⊥MN．
所以①正确．
因为AC⊥平面BMD，
所以AC⊥BM，AC⊥DM，并且平面BMD⊥平面ABC，
所以∠BMD=θ，∠BMD为DM与平面ABC所成角，
所以DM与平面ABC所成角为θ．
所以②正确．
又因为BM=DM，
所以MN⊥BD．
所以折后两条对角线AC、BD之间的距离为NM的长，
在△BMD中，∠BMD=θ，BM=DM=

3

2

，
当θ=

2π

3

时，MN的最小值为

3

4

，
当θ=

π

3

时，MN的最大值为

3

4

．
所以③正确．
因为当θ=

π

2

时，则有∠BMD=90°，
所以BM⊥平面ACD，MD⊥平面ABC，
所以MD⊥BC．
若BC与AD所成角等于

π

2

，即BC⊥AD，
所以BC⊥平面ACD，
这与BM⊥平面ACD相矛盾．
所以④错误．
故答案为①②③．

点评：本题主要考查二面角、线面角问题，解决此类问题一般先作出空间角，再通过解三角形的有关知识解决问题，本题并且也考查了异面直线的夹角与距离问题，此题属于中档题型．