Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（m-3）x+4m，x≥0}\\{{m}^{x}，x＜0}\end{array}$，若对任意实数a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． 0＜m＜1
• B． 0＜m≤$\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$≤m＜1
• D． m＜3

Answer 1

分析 通过对任意实数a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0可知函数f（x）在定义域上为减函数，利用每段均为递减函数，且左端函数的最小值不小于右端函数的最大值，计算即可．

解答 解：∵对任意实数a≠b都有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜0，
∴函数f（x）在定义域上为减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜0}\\{0＜m＜1}\\{4m≤1}\end{array}\right.$，解得：0＜m≤$\frac{1}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．