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    （2013•江西）已知函数f（x）=a(1-2|x-
    1
    2
    |)    ，a为常数且a＞0．
    （1）f（x）的图象关于直线x=
    1
    2
    对称；
    （2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；
    （3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．
    分析：（1）只要证明f(
    1
    2
    +x)=f(
    1
    2
    -x)    成立即可；
    （2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；
    （3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．
    解答：（1）证明：∵f(
    1
    2
    +x)    =a(1-2|
    1
    2
    +x-
    1
    2
    |)    =a（1-2|x|），f(
    1
    2
    -x)=a(1-2|
    1
    2
    -x-
    1
    2
    |)    =a（1-2|x|），
    ∴f(
    1
    2
    +x)=f(
    1
    2
    -x)    ，∴f（x）的图象关于直线x=
    1
    2
    对称．
    （2）解：当0＜a＜
    1
    2
    时，有f（f（x））=
    4a2x，x≤
    1
    2
    4a2(1-x)，x＞
    1
    2
    ．
    ∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．
    当a=
    1
    2
    时，有f（f（x））=
    x，x≤
    1
    2
    1-x，x＞
    1
    2
    ．
    ∴f（f（x））=x有解集，{x|x≤
    1
    2
    }，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．
    当a＞
    1
    2
    时，有f（f（x））=
    4a2x，x≤
    1
    4a
    2a-4a2x，
    1
    4a
    ＜x≤
    1
    2
    2a(1-2a)+4a2x，
    1
    2
    ＜x≤
    4a-1
    4a
    4a2-4a2x，x＞
    4a-1
    4a
    ，
    ∴f（f（x））=x有四个解：0，
    2a
    1+4a2
    ，
    2a
    1+2a
    ，
    4a2
    1+4a2
    ．
    由f（0）=0，f(
    2a
    1+2a
    )=
    2a
    1+2a
    ，f(
    2a
    1+4a2
    )≠
    2a
    1+4a2
    ，f(
    4a2
    1+4a2
    )≠
    4a2
    1+4a2
    ．
    故只有
    2a
    1+4a2
    ，
    4a2
    1+4a2
    是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为a＞
    1
    2
    ．
    （3）由（2）得x1=
    2a
    1+4a2
    ，x2=
    4a2
    1+4a2
    ．
    ∵x2为函数f（x）的最大值点，∴x3=
    1
    4a
    ，或x3=
    4a-1
    4a
    ．
    当x3=
    1
    4a
    时，S（a）=
    2a-1
    4(1+4a2)
    ．求导得：S′（a）=-
    2(a-
    1+
    		2
    2
    )(a-
    1-
    		2
    2
    )
    (1+4a2)2
    ．
    ∴当a∈(
    1
    2
    ，
    1+
    		2
    2
    )    时，S（a）单调递增，当a∈(
    1+
    		2
    2
    ，+∞)    时，S（a）单调递减．
    当x3=
    4a-1
    4a
    时，S（a）=
    8a2-6a+1
    4(1+4a2)
    ，求导得S′(a)=
    12a2+4a-3
    2(1+4a2)2
    ．
    ∵a＞
    1
    2
    ，从而有S′(a)=
    12a2+4a-3
    2(1+4a2)2
    ．
    ∴当a∈(
    1
    2
    ，+∞)    时，S（a）单调递增．
    点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．
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