Question

不等式x²-x-6≤0解集为M，不等式x²+2x-8＞0解集为N，不等式x²-3ax+2a²＜0（a＞0）解集为P．
（Ⅰ）求M∩N；
（Ⅱ）若“M∩N”是“P”的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据不等式的解法求解集合M，N，然后根据集合的基本运算即可求M∩N；
（Ⅱ）求出M∩N和P，根据“M∩N”是“P”的充分条件，即可求实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵x²-x-6≤0，
∴M={x|-2≤x≤3}．
∵x²+2x-8＞0，
∴N={x|x＞2或x＜-4}．
∴实数M∩N为{x|2＜x≤3}．
（Ⅱ）由x²-3ax+2a²＜0（a＞0），
得（x-a）（x-2a）＜0，
又a＞0，
∴P={x|a＜x＜2a}，
又“M∩N”是“P”的充分条件，
∴

a≤2 2a＞3

．
∴实数a的取值范围(

3

2

，2]．

点评：本题主要考查不等式的基本解法，以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．