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(2013•湖北)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数m,使得
1
a1
+
1
a2
+…+
1
am
≥1
?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
分析:(I)设等比数列{an}的公比为q,结合等比数列的通项公式表示已知条件,解方程可求a1,q,进而可求通项公式
(Ⅱ)结合(I)可知{
1
an
}
是等比数列,结合等比数列的求和公式可求
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
,即可判断
解答:解:(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,则由已知可得
a
3
1
q3=125
|a1q-a1q2|=10

解得
a1=
5
3
q=3
a1=-5
q=-1.

an=
5
3
3n-1,或an=-5•(-1)n-1

(Ⅱ)若an=
5
3
3n-1
,则
1
an
=
3
5
•(
1
3
)n-1

{
1
an
}
是首项为
3
5
,公比为
1
3
的等比数列,
从而
m
n=1
1
an
3
5
[1-(
1
3
)
m
]
1-
1
3
=
9
10
•[1-(
1
3
)m]<
9
10
<1

an=(-5)•(-1)n-1,则
1
an
=-
1
5
(-1)n-1,故{
1
an
}
是首项为-
1
5
,公比为-1的等比数列,
从而
m
n=1
1
an
=
-
1
5
,m=2k-1(k∈N+)
0,m=2k(k∈N+).
m
n=1
1
an
<1

综上,对任何正整数m,总有
m
n=1
1
an
<1

故不存在正整数m,使得
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≥1
成立.
点评:本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的综合应用,还考查了一定的逻辑推理与运算的能力
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1
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π
4
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x2
sin2θ
-
y2
cos2θ
=1
与C2
y2
cos2θ
-
x2
sin2θ
=1
的(  )

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