Question

【题目】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

Answer 1

【答案】（1）312（2）

【解析】

试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.

试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.

因为A1B1=AB=6，

所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积

所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.

（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<h<6，OO1=4h.连结O1B1.

因为在中，

所以，即

于是仓库的容积，

从而.

令，得 或（舍）.

当时， ，V是单调增函数；

当时，，V是单调减函数.

故时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当m时，仓库的容积最大.