Question

在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

Answer 1

⑴当时，由已知得

，，，

因为是等差数列，所以，，成等差数列，所以，

即，所以，解得，或．…………………2分

当时，，对，成立，所以数列是等差数列；

当时，，对，成立，所以数列是等差数列；

所以数列的通项公式分别为或．…………………………………4分

⑵因为是等比数列，所以，，成等比数列，所以，

即，化简得，所以或，

当时，，所以，不满足．

当时，若，则与矛盾，所以，因此．……………8分

则，因为按某种顺序排列成等差数列，

所以有，或，或，

解之得或或．………………………………………………………12分

又因为，所以，所以，

由，得，即，

因为是正整数，所以的取值集合为．……………………………………16分