Question

在矩形中，已知，，E、F为的两个三等分点，和交于点，的外接圆为⊙．以所在直线为轴，以中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）求以F、E为焦点，和所在直线为准线的椭圆的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）设点，过点P作直线与⊙交于M，N两点，若点M恰好是线段PN的中点，求实数的取值范围．

Answer 1

解（1）由已知，设椭圆方程为，

由于焦点的坐标为，它对应的准线方程为 ，…………………2分

所以，，于是 ，，

所以所求的椭圆方程为: ．    ……………………………………4分

 (2) 由题意可知，，，．

所以直线和直线的方程分别为:，，

        由　解得 所以点的坐标为．……………6分

      所以，，

      因为，所以，  …………………………………………8分

所以⊙的圆心为中点，半径为，

所以⊙方程为   .………………………………………10分

(3) 设点的坐标为，则点的坐标为，

因为点均在⊙上，所以，

由②－①×4，得，

所以点在直线，………………12分

又因为点在⊙上，

所以圆心到直线的距离

 ，      ………………………………14分

即，

整理，得，即，

所以，故的取值范围为．………16分

解法二：过作交于，

设到直线的距离，则

，

，

又因为

所以，，因为，

所以，所以，；

解法三：因为，，所以

所以，所以，．