Question

已知曲线f （x ）=ax ²+2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行．
（1）求f （x ）的解析式；
（2）求由曲线y=f （x ） 与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．
（2）因为所求区域均为曲边梯形，所以使用定积分方可求解．
解答：解：（1）y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|_x=1=2a，∵切线与直线2x-y+1=0平行
∴2a=2
∴a=1
故f （x ）的解析式f （x ）=x ²+2．
（2）联立 ，解得x₁=1，x₂=2
∴S=∫¹（x²+2-3x）d_x+∫₁²（3x-x²-2）d_x=+=1
所围成的平面图形的面积1．
点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率以及用定积分求面积，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．