Question

已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2px²相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长为（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  4

• C．8
• D．4

Answer 1

分析：为求斜率，先求导函数，得到切线方程，从而可求抛物线方程，进而求出线段长．

解答：解：∵f（x）=x³+x²+x+3，
∴f′（x）=3x²+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切点为（-1，2），∴切线方程为y-2=2（x+1），即y=2x+4．
设此直线与抛物线切于点（x₀，2px₀²），
则k=4px₀=2，得px₀=

1

2

，
∵2x₀+4=2px₀²，解得x₀=-4，p=-

1

8

，
∴抛物线的方程为x²=-4y，
其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，
故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程，考查转化思想，属于基础题．考查了学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．