Question

（2012•江西模拟）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=2，BC=1，D为AC中点，若规定主视方向为垂直于平面ACC₁A₁的方向，则可求得三棱柱左视图的面积为

4 5

5

．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁BD的体积．

Answer 1

分析：（I）取A₁B、AB₁交点O，连接OD，用三角形中位线定理证出OD∥B₁C，再用线面平行的判定定理，可以得到B₁C∥平面A₁BD．
（II）三棱柱左视图的面积为

4 5

5

，而高等于2，可得三角形ABC中，B点到AC的距离为

2 5

5

，结合平面几何知识，得到∠ABC=90°且AC=

5

，从而得到三棱锥A-A₁BD的底面积和高，求得它的体积．

解答：解：（Ⅰ）如图，取A₁B，AB₁交点O，连接OD，
∵△AB₁C中，OD是中位线，∴OD∥B₁C
∵OD⊆平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD…．（5分）
（II）∵主视图方向为垂直于平面ACC₁A₁的方向，
∴三棱柱左视图为一个矩形，
∵高为2，左视图面积为

4 5

5

，
∴左视图宽为

2 5

5

，即底面三角形高为

2 5

5

，即在三角形ABC中，B点到AC的距离为

2 5

5

，…．（8分）
根据射影定理可得∠ABC=90°，AC=

5

；
∴三棱锥A-A₁BD以AA₁=2为高，S_△ABD=1，可得三棱锥A-A₁BD的体积为V=

1

3

×2×

1

2

=

1

3

…．（12分）

点评：本题给出特殊三棱柱，叫我们证明线面平行并求锥体体积，着重考查了直线与平面平行的判定定理和棱柱、棱锥的体积公式等知识，属于基础题．