Question

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C为⊙O上一点，AB=2，AC=1，二面角P-BC-A为

π

4

．
（1）求证BC⊥面PAC；
（2）求三棱锥P-ABC体积；
（3）求点A到面PBC的距离．

Answer 1

分析：（1）根据已知中PA垂直⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，易得PA⊥BC，BC⊥AC，我们易结合线面垂直的判定定理得到BC⊥面PAC
（2）由（1）的结论，结合线面垂直的性质得到BC⊥PC，故∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，结合AB=2，AC=1，二面角P-BC-A为

π

4

．求出三棱锥P-ABC的底面面积及高，即可得到三棱锥P-ABC的体积；
（3）点A到面PBC距离为h，结合（2）的结论，求出三角形PBC的面积，根据棱锥的体积公式，易求出点A到面PBC的距离．

解答：证明：（1）∵PA⊥⊙O所在平面，且BC为⊙O的弦∴PA⊥BC
∵AB为⊙O的直径∴BC⊥AC
而PA∩AC=A
∴BC⊥面PAC
解：（2）由BC⊥面PAC得BC⊥PC
又由（1）知BC⊥AC
所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角
∴∠PCA=

π

4

∵∠PAC=

π

2

  ，  AC=1
∴PA=1，PC=

2

∴VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

•

3

2

•1=

3

6

（3）设点A到面PBC距离为h
∵BC=

3

  ， PC=

2

  ，  BC⊥PC
∴S△PBC=

6

2

∴VP-ABC=VA-PBC=

1

3

•

6

2

•h
∴h=

2

2

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点、线、面间的距离计算，其中熟练掌握空间线面垂直、平行的判定、性质，善于根据直角三角形、圆周角的性质，判断出直线与直线垂直是解答本题的关键．