Question

如图，公园要把一块边长为的等边三角形的边角地修成草坪，把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．

（1）设，，试用表示函数；

（2）如果是灌溉水管，希望它最短，的位置应该在哪里？

 

 

Answer 1

（1）;（2） A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短.

【解析】

试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.

试题解析：（1）∵△ABC的边长为2，D在AB上，

且，.

∵

∴.在△ADE中，由余弦定理得

（2）令，则

当且仅当，即时，取“＝”号，

故＝a，此时x＝a，所以以A为基点，分别在AB、AC上截取AD＝AE＝a时，线段DE最短．

考点：基本不等式在实际中的应用.