Question

3．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PA=1，求点E到平面PFD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AF，通过计算利用勾股定理证明DF⊥AF，证明DF⊥PA，推出DF⊥平面PAF，然后证明DF⊥PF．
（2）利用等体积方法，求点E到平面PFD的距离．

解答 （1）证明：连接AF，则AF=$\sqrt{2}$，DF=$\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，∴DF⊥AF，
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，
又PF?平面PAF，
∴DF⊥PF．
（2）解：∵S_△EFD=2-$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴V_P-EFD=$\frac{1}{3}×\frac{3}{4}×1$=$\frac{1}{4}$，
∵V_E-PFD=V_P-AFD，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{4}$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，即点E到平面PFD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算能力以及空间想象能力．