Question

已知函数.（）

（1）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当时，，；

对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，

∴，.

（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.

在区间（1，+∞）上函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立. 

∵

① 若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞)上有，

此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有

∈(，+∞)，不合题意；

当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有

∈(，+∞)，也不合题意；

② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，

从而在区间(1，+∞)上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

由此求得的范围是[，].

综合①②可知，当∈[，]时，

函数的图象恒在直线下方.

解析:

⑴当时，，求其在给定区间上的最值，可以借助导数解决；⑵函数的图象在直线的下方，说明在给定区间上恒成立，恒成立问题可以转化为函数的最值来解决，再次利用导数计算求值.