Question

已知函数f(x)=x-

2

x

+1-alnx，a＞0，
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a=3，求f（x）在区间[1，e²]上值域．

Answer 1

分析：（1）求导函数，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

，令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0），再进行分类讨论：当△=a²-8≤0，f′（x）≥0恒成立；当△=a²-8＞0，即a＞2

2

时，根据2t²-at+1＞0，及2t²-at+1＜0，即可确定函数的单调性；
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e²]上是增函数，从而可得函数f（x）在区间[1，e²]上的值．

解答：解：（1）求导函数，可得f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

令t=

1

x

得f′（x）=2t²-at+1（t≠0）
当△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上都是增函数；
当△=a²-8＞0，即a＞2

2

时，
由2t²-at+1＞0得t＜

a- a2-8

4

或t＞

a+ a2-8

4

∴x＜0或x＞

a+ a2-8

4

或0＜x＜

a- a2-8

4

又由2t²-at+1＜0得

a- a2-8

4

＜t＜

a+ a2-8

4

，∴

a- a2-8

4

＜x＜

a+ a2-8

4

综上 当0＜a≤2

2

f（x）在（0，+∞）上都是增函数；当a＞2

2

f（x）在(0，

a- a2-8

2

)及(

a+ a2-8

2

，+∞)上都是增函数，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)是减函数．
（2）当a=3时，由（1）知，f（x）在[1，2]上是减函数，在[2，e²]上是增函数．
又f(1)=0，f(2)=2-3ln2＜0，f(e2)=e2-

2

e2

-5＞0
∴函数f（x）在区间[1，e²]上的值域为[2-3ln2， e2-

2

e2

-5]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．