Question

9．数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如表所示：

中学	甲	乙	丙	丁
人数	30	40	20	10

为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．
（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？
（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；
（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值$\frac{3}{10}$，由此能求出甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数．
（Ⅱ）从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有$C_{30}^2=435$种，来自同一所中学的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$，由此能求出从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率．
（Ⅲ）依题意得，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为$\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$，
所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3．…（3分）
（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A，
从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有$C_{30}^2=435$种，…（5分）
来自同一所中学的取法共有$C_9^2+C_{12}^2+C_6^2+C_3^2=120$．   …（7分）
所以$P（A）=\frac{120}{435}=\frac{8}{29}$．
答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为$\frac{8}{29}$．          …（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．
依题意得，X的可能取值为0，1，2，…（9分）
$P（X=0）=\frac{C_6^2}{{C_{15}^2}}=\frac{1}{7}$，
$P（X=1）=\frac{C_9^1C_6^1}{{C_{15}^2}}=\frac{18}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_9^2}{{C_{15}^2}}=\frac{12}{35}$．    …（12分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$

…．（14分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．