Question

10．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$．
（1）求证：{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$两边同时取倒数，计算即得结论；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，进而可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为2的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，
∴a_n=$\frac{1}{2n}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．