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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    △ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且
    .
    AD
    =
    1
    6
    .
    AB
    +λ
    .
    AC，
    (λ∈R)    ，则AD的长为（　　）
    A、
    		3
    2
    B、
    		3
    C、1
    D、2
    分析：D在AC上及存在实数t满足
    AD
    =t
    AB
    +(1-t)
    AC
    可得
    AD
    = 
    1
    6
    AB
    +
    5
    6
    AC
    结合向量加法的三角形法则可得
    AB
    +
    BD
    =
    1
    6
    AB
    +
    5
    6
    AC
    从而有
    BD
    =
    5
    6
    (
    AC
    -
    AB
    )=
    5
    6
    BC
    结合根据角平分线性质可得
    AB
    AC
    =
    BD
    CD
    可求AC
    由向量的性质可得|
    AD
    |=
    AD
    2
    ，把已知数据代入可求
    解答：解：∵D在CB上
    ∴存在实数t满足
    AD
    =t
    AB
    +(1-t)
    AC

    ∵
    .
    AD
    =
    1
    6
    .
    AB
    +λ
    .
    AC，
    (λ∈R)    ，则t=
    1
    6
    ，1-t=
    5
    6

    ∵∴
    AD
    = 
    1
    6
    AB
    +
    5
    6
    AC

    ∵
    AB
    +
    BD
    =
    1
    6
    AB
    +
    5
    6
    AC

    ∴
    BD
    =
    5
    6
    (
    AC
    -
    AB
    )=
    5
    6
    BC

    ∵AD为∠A的平分线，根据角平分线性质可得
    AB
    AC
    =
    BD
    CD
    ?
    3
    AC
    =5    ?AC=
    3
    5

    ∴|
    AD
    |=
    AD
    2
    =
    		(
    1
    6
    AB
    +
    5
    6
    AC
    )     2
    =
    1
    36
    AB
    2    +
    25
    36
    AC
    2    +
    5
    18
    AB
    •
    AC
     

    =
    1
    36
    ×9+
    25
    36
    ×
    9
    25
    +
    5
    18
    ×3×
    3
    5
    ×
    1
    2
        
    =
    		3
    2

    故选A．
    点评：本题主要考查了平面向量的共线定理：D在AB上，存在实数t满足
    AD
    =t
    AB
    +(1-t)
    AC
    的应用，角平分线的性质定理的综合应用，平面向量数量积的性质，本题的综合性比较强，运用的知识较为灵活．
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    在△ABC中，∠A=
    π
    6
    ，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且丨
    AB
    |2=|
    AD
    |2+
    BD
    •
    DC
    ，则∠B=
     
    ．

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    △ABC 中，“A=
    π
    6
    ”是“sinA=
    1
    2
    ”的
    充分不必要
    充分不必要
    条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．

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    （2012•房山区二模）在△ABC中，A=
    π
    6
    ，a=1，b=
    		2
    ，则B=（　　）

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    在△ABC中，a=
    		6
    ，b=2，c=
    		3
    +1，求A、B、C及S△ABC．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    △ABC中，a=6，b=6
    		3
    ，A=30°，则边c等于（　　）
    A、6
    B、12
    C、6或12
    D、6
    		3

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