Question

(20)已知函数f(x)=4x³-3x²cosθ+cosθ，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ＜2π．

    (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；

    (Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

    (Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1，a)内都是增函数，求实数α的取值范围．

Answer 1

本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法．

(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x³，则f(x)在(-∞，+∞)内是增函数，故无极值．

(Ⅱ)解：f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

 

x₁=0，x₂=.

由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论．

当cosθ＞0时，随x的变化，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在x=处取得极小值f（），且

f（）=-.

   要使f（）＞0，必有-＞0，可得

0＜cosθ＜.

    由于0≤θ＜2π，故

＜θ＜或＜θ＜.

②当cosθ＜0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：

因此，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且

f（0）=cosθ

若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零.

综上，要使函数f（x）在（-∞，+∞）内的极小值大于零，参数θ的取值范围为

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（，+∞）内都是增函数.

由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

由(Ⅱ),参数θ∈时，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ关于参数θ恒成

 

立，必有2a-1≥_，即.

 

综上，解得a≤0或＜1.所以a的取值范围是

(-∞,0]∪［，1）.