Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（\frac{1}{2}）^{x}，a≤x＜0}\\{-{x}^{2}+2x，0≤x≤4}\end{array}\right.$的值域是[-8，1]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-3]
• B． [-3，0）
• C． [-3，-1]
• D． {-3}

Answer 1

分析 由二次函数的性质可得当0≤x≤4时，函数的值域刚好为[-8，1]，故只需y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0的值域为[-8，1]的子集，可得a的不等式，结合指数函数的单调性可得．

解答 解：解：当0≤x≤4时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1，
故函数在[0，1]单调递增，[1，4]单调递减，$-（\frac{1}{2}）^{a}≥-8，-（\frac{1}{2}）^{0}≤1$
当x=1时，函数取最大值1，当x=4时，函数取最小值-8，
又函数f（x）的值域为[-8，1]，∴y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0的值域为[-8，1]的子集，
∵y=-$（\frac{1}{2}）^{x}$，a≤x＜0单调递增，
∴只需-$-（\frac{1}{2}）^{a}≥-8，…-（\frac{1}{2}）^{0}≤1$，
解得-3≤a＜0
故选：B．

点评 本题考查函数的值域，涉及分段函数、指数函数及集合的运算，属中档题题．