Question

已知P是圆F₁：（x+1）²+y²=16上的动点，点F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线l与半径F₁P交于点Q．
（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程．
（II）已知点M（1，），A、B在（1）中所求的曲线C上，且（λ∈R，O是坐标原点），
（i）求直线AB的斜率；
（ii）求证：当△MAB的面积取得最大值时，O是△MAB的重心．

Answer 1

（I）解：根据题设有|QP|=|QF₂|，|F₁P|=4
∴|QF₁|+|QF₂|=|QF₁|+|QP|=|F₁P|=4
∵|F₁F₂|=2＜4
∴根据椭圆的定义可知，Q的轨迹为以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点中心在原点半长轴为2，半焦距为1，半短轴为的椭圆，其方程为
（II）（i）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得
1-x₁+1-x₂=λ，
∴
由 ，，
两式相减可得+=0
直线AB的斜率为=；
（ii）证明：设AB的直线方程为y=-，代入椭圆C的方程，整理得x²-tx+t²-3=0
∴△=3（4-t²）＞0，|AB|==
∵P到直线AB的距离d=
∴△MAB的面积为S=
∴≤×=
∴S≤，当且仅当2-t=6+3t，即t=-1时取等号
∴当t=-1时，三角形的面积S取得最大值，
根据韦达定理得x₁+x₂=t=-1，∴x₁+x₂=2+λ=-1，∴λ=-3
∴，
故O是△MAB的重心．
分析：（I）根据圆M的标准方程得到点M坐标（-1，0），圆的半径R=4，再由线段中垂线定理，可得出点Q的轨迹C是椭圆，从而可得出点G的轨迹C对应的椭圆的标准方程；
（II）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得，再利用点差法，即可求得直线AB的斜率；
（ii）设AB的直线方程为y=-，代入椭圆C的方程，求出|AB|及P到直线AB的距离，从而可得△MAB的面积，利用基本不等式求最值，即可证得结论．
点评：本题借助一个动点的轨迹，得到椭圆的第一定义，进而求出其轨迹方程，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．