Question

椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一，应该如何解释这种现象呢？

Answer 1

思路:三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以，圆锥曲线在图形上依然存在着统一.探究:我们知道，椭圆时离心率e越大，椭圆越扁；双曲线时离心率e越大，双曲线开口越大.随着e的增大，椭圆越变越扁，但左半部分开口越来越大，左顶点离l越来越近，而右顶点离F点越来越远；当e趋近于1时，左顶点趋近于F与l间的中点，而右顶点趋向无穷远处；当e=1时，我们可以大胆地认为右顶点在无穷远处，此时曲线变为抛物线；当e＞1时，开口越来越大，右顶点超过无穷远处并开始返回，此时曲线变为双曲线两支，或认为双曲线两支无限延伸交于无穷远处，如图3-3-3.

                                                        图3-3-3

于是我们可以猜想：三条圆锥曲线都为封闭图形，其形状都为椭圆，所以，圆锥曲线在图形上依然存在着统一,这是一种无限的思想.

因为顶点（曲线与两个坐标轴的交点）如A₁是圆锥曲线上的点，所以满足=e，当e→1时，A₁向中点靠近；当e=1时，A₁位于中点；当e→＋∞时，A₁向N靠近.这里A₁只是的内分点，其实满足=e还有一个外分点，即另一顶点A₂，满足=－e.当e＜1时，圆锥曲线为椭圆，所以它的外分点A₂位于NF的延长线上；当e→1时，A₂离F点越远；当e=1时，外分点不存在，或者我们就可以理解为A₂位于无穷远处，所以抛物线只有一个顶点；当e＞1时，圆锥曲线为双曲线，外分点A₂位于NF的反向延长线上；e→＋∞时，A₂从左侧向N靠近.

    这也揭示了为什么椭圆有两个顶点，抛物线只有一个顶点，双曲线有两个顶点，及它们之间的区别，你可以由此进一步理解圆锥曲线的内在统一性.