Question

设各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₃+a₅=40．数列{b_n}中，前n项和Sn=

1

2

n2+

1

2

n
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若c₁=1，c_n+1=c_n+

bn

an

，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用等比数列的通项公式结合已知条件进行相除整理，能够求出数列{a_n}的通项公式；利用公式=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

能够求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）知c₁=1，c_n+1=c_n+

n

2n

，由此得到c_n=1+

1

2

+

2

4

+…+

n-2

2n-2

+

n-1

2n-1

，利用错位相减法能够求出数列{c_n}的通项公式．

解答：（1）解：设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，
∴a₁+a₁q²=10①，a₁q²+a₁q⁴=40②
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，
∴q=2．把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a₁q^n-1=2×2^n-1=2ⁿ
∵Sn=

1

2

n2+

1

2

n，
∴n=1，b₁=1，n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n，
综上可知b_n=n．
（2）解：∵c₁=1，c_n+1=c_n+

bn

an

，
∴由（1）知c_n+1=c_n+

bn

an

=c_n+

n

2n

，
∴c₁=1，c2=1+

1

2

，c3=1+

1

2

+

2

4

，
c4=1+

1

2

+

2

4

+

3

8

，…，c_n=1+

1

2

+

2

4

+…+

n-2

2n-2

+

n-1

2n-1

，
∵c_n=1+

1

2

+

2

4

+…+

n-2

2n-2

+

n-1

2n-1

，①
∴

1

2

cn=

1

2

+

1

4

+

2

8

+…+

n-2

2n-1

+

n-1

2n

，②
错位相减，①-②，得

1

2

cn=1+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n-1

+

n-1

2n

=1+

1 4 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

-

n-1

2n

=1+

1

2

-

1

2n-1

-

n-1

2n

=

3

2

-

1

2n-1

-

n-1

2n

，
∴c_n=3-

n+1

2n-1

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意等比数列通项公式和错位相减法的合理运用，是中档题．