Question

直三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC₁和B₁C₁的中点．

（1）求点B到平面A₁C₁CA的距离；
（2）求二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A₁BD，若存在确定其位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得：CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面A₁C₁CA
∴点B到平面A₁C₁CA的距离为2（3分）
（2）如图建立空间直角坐标系
则B（0，2，0）D（0，0，1）A₁（2，0，2）
=（-2，0，-1），=（-2，2，-2），
设平面A₁DB的法向量为
则即
∴（6分）
而平面ACC₁A₁的法向量为
=
∴二面角B-A₁D-A的大小为（8分）
（3）存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD
设F（x，0，0），由E（0，1，2）得若EF⊥平面A₁BD，则由得x=1
∴F为AC的中点
∴存在F为AC的中点，使EF⊥平面A₁BD（12分）
分析：（1）由已知中的三视图，我们可以判断直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中CA=CB=CC₁=2，∠ACB=90°，则BC⊥平面A₁C₁CA，则BC长即为点B到平面A₁C₁CA的距离；
（2）由C为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面A₁DB的法向量及面ACC₁A₁的法向量后，代入向量夹角公式，即可得到二面角B-A₁D-A的余弦值；
（3）设F（x，0，0），由E（0，1，2），可求出向量，则为平面A₁BD的一个法向量，由此构造方程，求出x值，即可得到F点的位置．
点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，由三视图还原实物图，及空间点到平面距离的运算，（1）的关键是证得BC⊥平面A₁C₁CA，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角，（3）的关键是根据已知条件构造关于x的方程．