Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求A₁B与平面A₁C₁CA所成角的正切值；
（2）求二面角B-A₁D-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，知CC₁⊥BC，再由AC⊥CB，知∠BA₁C为A₁B与平面A₁C₁CA所成的角，由此能求出A₁B与平面A₁C₁CA所成角的正切值．
（2）分别延长AC，A₁D交于G，过C作CM⊥A₁G于M，连接BM，则∠CMB为二面角B-A₁D-A的平面角，由此能求出二面角B-A₁D-A的平面角的正切值．

解答：解：（1）∵A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∴C₁C⊥底面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又∵AC⊥CB，CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面A₁C₁CA，
∴∠BA₁C为A₁B与平面A₁C₁CA所成的角，
在Rt△BA₁C中，∠BA₁C=

BC

A1C

=

2

2 2

=

2

2

，
∴A₁B与平面A₁C₁CA所成角的正切值为

2

2

．
（2）分别延长AC，A₁D交于G，过C作CM⊥A₁G于M，连接BM，
∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B-A₁D-A的平面角，
平面A₁C 1 CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，
∴CG=2，DC=1，
∴在直角△CDG中，CM=

2 5

2

．
∴tan∠CMB=

BC

CM

=

2

2 5 5

=

5

，
故二面角B-A₁D-A的平面角的正切值为

5

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，考查二面角的正切值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．