Question

如图，直三棱柱ABCA₁B₁C₁的底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求

BN

的模；
（2）求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出B，N两点的坐标，代入空间两点间的距离公式，即可求出BN的长；
（2）求出

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），利用向量的夹角公式，即可求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；
（3）证明

A1B

•

C1M

=0，即可证明A₁B⊥C₁M．

解答：（1）解：以C为坐标原点，以

CA

、

CB

、

CC1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，如图
由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），
∴|

BN

|=

12+(-1)2+12

=

3

．
（2）解：依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B₁（0，1，2），C₁（0，0，2）．
∴

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（0，1，2），
∴

BA1

•

CB1

=3．
∴|

BA1

|=

6

，|

CB1

|=

5

，
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 || CB1 |

=

30

10

，
∴异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值为

30

10

．
（3）证明：∵

A1B

=（-1，1，-2），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴

A1B

•

C1M

=-1×

1

2

+1×

1

2

+（-2）×0=0，
∴

A1B

⊥

C1M

，即A₁B⊥C₁M．

点评：本题考查直线与直线垂直，考查线线角，其中建立空间坐标系，将线线垂直，线线角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．