Question

（2013•凉山州二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BC=2BB₁，D为BC中点．
（1）证明：A₁B∥平面C₁AD；
（2）证明：平面B1AD⊥平面C_lAD．

Answer 1

分析：（1）连结A₁C，交AC₁于点E．矩形AA₁C₁C中，可得E为A₁C中点，从而得到DE为△A₁BC的中位线，可得DE∥A₁B．利用线面平行判定定理，即可证出A₁B∥平面C₁AD；
（2）等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，再根据直棱柱的性质利用线面垂直的判定与性质，证出AD⊥B₁B从而得到AD⊥平面BB₁C₁C，得AD⊥DB₁，所以∠C₁DB₁就是二面角B₁-AD-C₁的平面角．最后根据矩形BB₁C₁C中，BC=2B₁B，D为BC中点，证出△B₁C₁D是以B₁C₁为斜边的等腰直角三角形，得B₁D⊥C₁D，得二面角B₁-AD-C₁是直二面角，结合面面垂直的定义可得平面B1AD⊥平面C_lAD．

解答：解：（1）连结A₁C，交AC₁于点E
∵四边形AA₁C₁C是矩形，∴E为A₁C中点
∵D为BC中点，∴DE为△A₁BC的中位线，可得DE∥A₁B
∵DE?平面C₁AD，A₁B?平面C₁AD，
∴A₁B∥平面C₁AD；
（2）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，
∴结合AD?平面ABC，得AD⊥B₁B
∵BC、B₁B是平面BB₁C₁C内的相交直线，∴AD⊥平面BB₁C₁C
因此，AD⊥DB₁，可得∠C₁DB₁就是二面角B₁-AD-C₁的平面角
∵矩形BB₁C₁C中，BC=2B₁B，D为BC中点
∴设B₁B=1，可得B₁D=DC₁=

2

，
结合B₁C₁=BC=2得△B₁C₁D是以B₁C₁为斜边的等腰直角三角形，可得B₁D⊥C₁D
因此，二面角B₁-AD-C₁是直二面角，可得平面B1AD⊥平面C_lAD．

点评：本题在底面为等腰三角形的直三棱柱中求证线面平行，并证明面面垂直．着重考查了直三棱柱的性质、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．