Question

已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为______．

Answer 1

设正△ABC边长为1，则线段AD=

3

2

设B，C到平面α距离分别为a=BE，b=CF，
则D到平面α距离为hDG=

a+b

2

射影三角形两直角边的平方分别为1-a²，1-b²，
设线段BC射影长为c，则1-a²+1-b²=c²，（1）
又线段AD射影长为

c

2

，
所以（

c

2

）²+

(a+b)2

4

=AD²=

3

4

，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=

1

2

，
所以sinα=

h

AD

=

a+b

3

=

1

3

(a+

1

2a

)≥

2

3

a• 1 2a

=

2

3

=

6

3

，当a=b=

2

2

时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=a+

1

2a

，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究

2

2

≤a＜1的情形．
由于函数f′（a）=1-

1

2

•

1

a2

=

a2- 1 2

a2

当

2

2

≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（

2

2

1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+

1

2

=

3

2

．，
sinα趋近于

1

3

•

3

2

=

3

2

所以sinα的取值范围为[

6

3

，

3

2

)
故答案为：[

6

3

，

3

2

)