Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0），设 ．
（1）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）零点的个数，并给出证明；
（2）首项为m的数列{an}满足：①an+1+an≠ ；②f（an+1）=g（an）．其中0＜m＜ ．求证：对于任意的i，j∈N* ， 均有ai﹣aj＜ ﹣m．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且仅有一个零点．

证明如下：函数f（x）=lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），

由 ，可得函数g（x）的定义域为（﹣∞， ），

∴函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（0， ）．

h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax﹣ln（ ）+2﹣ax．

h′（x）= ，

当且仅当 时等号成立，因此h（x）在 上单调递增，又 ，

故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且仅有一个零点；

（2）证明：由（1）可知h（x）在 上单调递增，且 ，

故当 时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；

当 时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．

∵ ，∴f（a1）＜g（a1）=f（a2），

若 ，则由 ，且f（x）在 上单调递减，

知 ，即 ，这与 矛盾，故 ，

而当 时，f（x）单调递增，故 ；

同理可证 ，…， ，

故数列{an}为单调递增数列且所有项均小于 ，

因此对于任意的i，j∈N*，均有 ．

【解析】（1）由已知求出函数函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（0， ）．利用导数判断函数在定义域上是单调函数，再由 可得函数h（x）=f（x）﹣g（x）在 上有且仅有一个零点；（2）由（1）可知h（x）在 上单调递增，且 ，故当 时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当 时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．由a1=m及m的范围可得f（a1）＜g（a1）=f（a2），然后判断得 ，结合 时，f（x）单调递增得 ；同理可证 ，…， ，则有数列{an}为单调递增数列且所有项均小于 ，从而证得对于任意的i，j∈N*，均有 ．