Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）上点P，其左、右焦点分别为F1 ， F2 ， △PF1F2的面积的最大值为 ，且满足 =3
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆上互不重合的四个点，AC与BD相交于F1 ， 且 =0，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，设|PF1|=m，|PF2|=n，由 =2，

得 ，即 ，

由△PF1F2的面积的最大值为 ，得bc= ．

联立 ，解得a=2，b= ．

∴椭圆E的方程为 ；

（2）解：当直线AC斜率不存在时， = ，当直线AC斜率为0时， = ，

当直线AC斜率存在且不为0时，设直线AC：y=k（x+1），A（x1，y1）C（x2，y2），BD： ，

联立 ，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

∴ ， ，

则|AC|= = ．

将 代入上式可得|BD|= ，

则 = ，

由k2＞0，则 ，

综上， 的取值范围为[ ， ]．

【解析】（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求．（2）设直线AC的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式即可求得|AC|的值，将 代入上式可得|BD|，由k2＞0，即可求得 的取值范围．