Question

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为

.

（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）公共弦长为。

【解析】本题主要考查了圆的参数方程，以及简单曲线的极坐标方程，属于基础题．

（1）根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程；

（2）先求出两个圆心之间的距离与两半径和进行比较，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C₁C₂，建立等量关系，解之即可．

解：（I）由得，

∴曲线的普通方程为---------------------2分

∵，∴，

∵，，∴，

即，

∴曲线的直角坐标方程为-------------------5分

（II）∵圆的圆心为，圆的圆心为，

∴，∴两圆相交------------------8分

设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段,

∴，∴，所以公共弦长为--------------10分