Question

已知⊙F₁：，，在⊙F₁上取点P，连接PF₂，作出线段PF₂的垂直平分线交PF₁于M，当点P在⊙F₁上运动时M形成曲线C．（如图）
（1）求曲线C的轨迹方程．
（2）过点F₂的直线l交曲线C于R，T两点，满足|RT|=，求直线l的方程．
（3）点Q在曲线C上，且满足，求．

Answer 1

解：（1）由题意有|PM|=|F₂M|
∴|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4
∴点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆．
其方程为
（2）设l的方程为，
（若l的斜率不存在，则，，∴|RT|=1，不合题意）
代入x²+4y²-4=0整理有
设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）
椭圆右准线方程为：，离心率．
过R、T作右准线的垂线，设垂足分别为R₂、T₂，则
=
∴即
解之有，
∴l的方程为
（3）|QF₁|+|QF₂|=4
∴12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|
而|QF₁|+|QF₂|=4，
∴|QF₁|²+|QF₂|²+2|QF₁|•|QF₂|=16
∴12=16-2|QF₁|•|QF₂|-|QF₁|•|QF₂|
∴
∴S_△F1F2Q===．
分析：（1）由题意有|PM|=|F₂M|从而有|MF₁|+|MF₂|=|PF₁|=4，根据椭圆的定义得点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆．再写出其方程即可；
（2）设l的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用线段的比例关系即可求得k值，从而解决问题．
（3）根据三角形中的余弦定理可得12=|QF₁|²+|QF₂|²-|QF₁|•|QF₂|而|QF₁|+|QF₂|=4，从而得出
最后利用三角形的面积公式求解即得．
点评：本小题主要考查椭圆的定义、直线与圆锥曲线的综合问题、直线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．