Question

已知定义在R上的连续函数y=f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），（x-

3

2

）f′（x）＞0，则下列命题正确的有

①②④

．
①函数y=f（x+

3

2

）为偶函数；
②若x₁＜x₂且x₁+x₂＞3，则f（x₁）＜f（x₂）；
③f（

2

）＞f（sin14°+cos14°）；
④若f（

3

2

）•f（5）＜0，则y=f（x）有两个零点．

Answer 1

分析：根据函数的对称性，求出函数y=f（x）的对称轴，进而根据函数图象的平移变换，求出函数y=f（x+

3

2

）的对称轴，可判断①；根据已知结合导数符号与原函数单调性的关系，分析出函数的单调性，进而可判断②，③，再结合零点存在定理可判断④

解答：解：①∵函数y=f（x）对任意x满足f（3-x）=f（x），
故函数y=f（x）的图象关于直线x=

3

2

对称
函数y=f（x+

3

2

）的图象由函数y=f（x）的图象向左平移

3

2

个单位得到，故关于y轴对称，函数y=f（x+

3

2

）为偶函数，即①正确；
②∵（x-

3

2

）f′（x）＞0，故x＞

3

2

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
x＜

3

2

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
若x₁＜x₂且x₁+x₂＞3，则f（x₁）＜f（x₂），故②正确；
③sin14°+cos14°=

2

sin（14°+45°）=

2

sin59°，∵

2

＞

2

sin59°，且

2

+

2

sin59°＜3，故f（

2

）＜f（sin14°+cos14°），即③错误；
④若f（

3

2

）•f（5）＜0，则函数若f（

3

2

）＜0，f（-2）=f（5）＞0，由函数的单调性及零点存在定理，可得y=f（x）有两个零点，故④正确
故正确的命题有：①②④
故答案为：①②④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的对称性，奇偶性，单调性，零点等知识点，综合性强，难度较大．