Question

（2013•南通一模）已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，

2 3

3

）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；
（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k₁的值；
（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k₁+k₂=1探究直线过哪个定点．

解答：（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=2

3

，b²=a²-c²=2
∴所求椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

3

+

y12

2

=1①，

x22

3

+

y22

2

=1②
②-①，可得k₁=

y2-y1

x2-x1

=-

2(x2+x1)

3(y2+y1)

=-

2

3

；
（3）证明：由题意，k₁≠k₂，
设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入椭圆方程并化简得（2+3k12）x²+6k₁k₂x+3k22-6=0
∴xM=

-3k1k2

2+3k12

，yM=

2k2

2+3k12

同理，xN=

-3k1k2

2+3k22

，yN=

2k1

2+3k22

当k₁k₂≠0时，直线MN的斜率k=

yM-yN

xM-xN

=

10-6k1k2

-9k1k2

直线MN的方程为y-

2k2

2+3k12

=

10-6k1k2

-9k1k2

（x-

-3k1k2

2+3k12

）
即y=

10-6k1k2

-9k1k2

x-

2

3

此时直线过定点（0，-

2

3

）
当k₁k₂=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-

2

3

）
综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-

2

3

）．

点评：本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．